加法定理と波の干渉（ノイズキャンセリング）

Q: 加法定理と波の干渉（ノイズキャンセリング）とは何ですか？

三角関数の加法定理： \sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta \cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta 三角関数の合成（波の重ね合わせ）： a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha) \quad \left(\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \; \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

Q: 加法定理と波の干渉（ノイズキャンセリング）は社会やプログラミングでどのように使われていますか？

アクティブノイズキャンセリング（ANC）とオーディオ信号の逆位相相殺エンジン: 外部マイクで集音した環境騒音シグナルに対し、デジタルシグナルプロセッサ（DSP）で位相反転（Inverted Phase）フィルタを適用し、内部スピーカーから逆位相波をリアルタイム再生して合成音圧を 0 に抑え込むアルゴリズム。

「なぜ逆位相の音をぶつけると騒音が消えるのか？」三角関数の合成と音響工学の秘密

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3行要約（Key Takeaways / AIOサマリー）

1: 三角関数の加法定理（sin(α±β), cos(α±β)）は、異なる角度や位相を持つ波の重ね合わせを計算する根幹の定理
2: 同じ周期の2つの波 a sin θ + b cos θ は、合成公式により振幅 √(a²+b²) の単一のサイン波に統合できる
3: ノイズキャンセリングイヤホンは、外の騒音と「振幅が等しく位相が180度（πラジアン）真逆の波」をマイクとスピーカーでぶつけ合わせ、sin θ + sin(θ + π) = sin θ - sin θ = 0 として音を完全に消滅させている

なぜこれを学ぶのか？ — 現実社会とテクノロジーでの価値

Purpose & Motivation

なぜ生まれたのか？

周期や位相が異なる複数の波が合流したとき、全体の音や電波がどう強め合い、あるいは打ち消し合うかを予測・計算するために体系化された。

身につく武器・思考力

複雑に入り組んだ波形をシンプルなサイン波の足し引きに分解・合成し、逆位相によって騒音を相殺する高度な波動制御の思考が身につく。

実社会・ITでの活躍現場

•Apple AirPodsなどのアクティブノイズキャンセリング（ANC）イヤホン
•シンセサイザーの音作り（加算合成による多様な楽器音の再現）
•5GスマートフォンやWi-Fiの電波干渉防止（MIMOビームフォーミング）
•AM/FMラジオの周波数変調・振幅変調回路

Layer 1 — 直感・シミュレーター

元の波（青）と追加波（緑）の振幅・周波数・位相差をスライダーで変更してみよう。「逆位相（位相差 180°）」に設定すると、重ね合わされた合成波（赤）の振幅がみるみる小さくなり、完全に一直線（振幅 0 = 無音）へと消え去るノイズキャンセリング現象を観察できる。

波の干渉とノイズキャンセリング設定:

外部騒音の振幅:30

アンチノイズ振幅:30

位相差 δ:180°

波の重ね合わせ（干渉）シミュレーター:

■ 外部騒音■ アンチノイズ■ 耳に届く合成波

位相関係

完全な逆位相 (π rad)

sin(θ + δ)

合成波の最大振幅

0.0 px

騒音とアンチノイズの和

ノイズ低減効果

100% 完全消音

🎉 騒音が完全に消滅しました

直感チェック！ミニクイズ

騒音を表す波 f(t) = A sin(ωt) を完全に打ち消して無音にするために、スピーカーから出力すべき「逆位相の波」g(t) はどれか？

Layer 2 — 定義・受験・証明

定義

三角関数の加法定理：

\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta

\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta

三角関数の合成（波の重ね合わせ）：

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha) \quad \left(\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}, \; \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\right)

公式・数理モデル

\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta, \quad a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2+b^2}\sin(\theta+\alpha)

証明・導出

加法定理から三角関数の合成公式の導出： $a\sin\theta + b\cos\theta$ に対し、点 $(a, b)$ を座標平面上にとると、原点からの距離は $R = \sqrt{a^2 + b^2}$ である。式全体を $R$ でくくると、

a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \left( \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin\theta + \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos\theta \right)

ここで $\cos\alpha = \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}, \; \sin\alpha = \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ を満たす角度 $\alpha$ が必ず1つ存在する。代入すると、

= \sqrt{a^2 + b^2} (\sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha)

加法定理 $\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha$ を逆に適用することで、

= \sqrt{a^2 + b^2}\sin(\theta + \alpha)

が美しく導かれる。2つの異なる波の足し算が、単一の拡大されたサイン波に統合される物理的根拠である。

押さえておきたいポイント

加法定理は2倍角公式（ $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 、 $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ ）や半角公式の親元の式である
積和の公式・和積の公式（高校数II）は、加法定理を足し引きすることで得られ、電波の振幅変調（AMラジオ）に直結する
波の干渉: 位相差が 0°（同位相）なら振幅は 2倍（建設的干渉）、180°（逆位相）なら振幅は 0（相殺的干渉）
周波数がわずかに異なる2つの波を足すと、振幅が周期的に膨らんだり縮んだりする「うなり（Beat）」が発生する

参照基準・学習指導要領との対応

本トピックの内容・数理モデルは、文部科学省学習指導要領（算数・数学・情報）および国際標準カリキュラムに準拠し、エンジニアリング現場の実装事例と照らし合わせてMath World Lab編集部により検証・作成されています。

Layer 3 — 工学応用・現場実装

アクティブノイズキャンセリング（ANC）とオーディオ信号の逆位相相殺エンジン

外部マイクで集音した環境騒音シグナルに対し、デジタルシグナルプロセッサ（DSP）で位相反転（Inverted Phase）フィルタを適用し、内部スピーカーから逆位相波をリアルタイム再生して合成音圧を 0 に抑え込むアルゴリズム。

1// オーディオバッファにおけるノイズ相殺シミュレータ
2function processActiveNoiseCancellation(
3  noiseSignal: Float32Array,
4  latencySamples: number = 0 // 位相遅れ補正
5): { outputSignal: Float32Array; cancellationRatePercent: number } {
6  const n = noiseSignal.length;
7  // 逆位相波の生成: 反転 g(t) = -f(t)
8  const antiNoiseSignal = new Float32Array(n);
9  for (let i = 0; i < n; i++) {
10    const srcIdx = i - latencySamples;
11    antiNoiseSignal[i] = srcIdx >= 0 ? -noiseSignal[srcIdx] : 0;
12  }
13
14  // 人の耳に届く合成波 = 騒音 + アンチノイズ
15  const outputSignal = new Float32Array(n);
16  let originalEnergy = 0;
17  let cancelledEnergy = 0;
18
19  for (let i = 0; i < n; i++) {
20    outputSignal[i] = noiseSignal[i] + antiNoiseSignal[i];
21    originalEnergy += noiseSignal[i] * noiseSignal[i];
22    cancelledEnergy += outputSignal[i] * outputSignal[i];
23  }
24
25  const reduction = Math.max(0, 1 - Math.sqrt(cancelledEnergy / (originalEnergy || 1)));
26  return {
27    outputSignal,
28    cancellationRatePercent: Math.round(reduction * 100),
29  };
30}
31
32// 例: 440Hzの純音騒音を逆位相波で相殺
33const sampleRate = 44100;
34const buffer = new Float32Array(100);
35for (let i = 0; i < buffer.length; i++) {
36  buffer[i] = Math.sin((2 * Math.PI * 440 * i) / sampleRate);
37}
38
39const result = processActiveNoiseCancellation(buffer, 0); // 遅延なし理想条件
40console.log(`消音率: ${result.cancellationRatePercent}%`); // 100% 消音
41console.log(`合成後の最大音圧: ${Math.max(...result.outputSignal)}`); // 0