三平方の定理

直角三角形の3辺に隠れた面積の等式

Layer 1 — 直感・シミュレーター

黒い点をドラッグして直角三角形の形を自由に変えてみよう。3つの辺の上に立っている正方形の面積が同時に変化する。青の面積＋赤の面積が、常に緑の面積と一致することを目で確かめよう。

a^2

= 3.0² = 9.00

b^2

= 2.0² = 4.00

c^2

= 3.61² = 13.00

↑ 黒い点をドラッグして直角三角形の形を変えると、3つの正方形の面積が連動する。 $a^2 + b^2$ = 13.00 と $c^2$ = 13.00 が常に一致することを確認しよう。

Layer 2 — 定義・受験・証明

定義

直角三角形において、直角をはさむ2辺（直角をはさむ辺、脚）の長さを $a, b$ 、直角の対辺（斜辺）の長さを $c$ とすると、次の関係が成り立つ。

a^2 + b^2 = c^2

これが三平方の定理（ピタゴラスの定理）である。

公式

a^2 + b^2 = c^2

証明・導出

最も直感的な証明の一つは正方形の面積を使う方法である。1辺 $a+b$ の正方形の中に、斜辺 $c$ の直角三角形を4つ、向きを変えて敷き詰める。

外側の正方形の面積は $(a+b)^2$ 。内側にできる小さな正方形（辺の長さ $c$ ）の面積は $c^2$ 。三角形4枚の面積の合計は $4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$ なので

(a+b)^2 = c^2 + 2ab

左辺を展開すると $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$ となり、両辺から $2ab$ を引くと

a^2 + b^2 = c^2

が得られる。

押さえておきたいポイント

直角三角形にのみ成り立つ特別な関係
2点間の距離の公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ の土台になっている
3辺の長さの組（3,4,5 や 5,12,13 など）を「ピタゴラス数」と呼ぶ

Layer 3 — 工学応用・現場実装

2点間の距離計算（当たり判定・経路探索）

ゲームや地図アプリで「2点がどれくらい離れているか」を求める処理は、三平方の定理そのものである。円形の当たり判定（半径以内に入ったか）や、A*探索アルゴリズムのヒューリスティック関数などで頻出する、最も基本的で応用範囲の広い公式。

1type Point = { x: number; y: number };
2
3function distance(p1: Point, p2: Point): number {
4  const dx = p2.x - p1.x;
5  const dy = p2.y - p1.y;
6  return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy); // 三平方の定理 a^2 + b^2 = c^2
7}
8
9function isWithinRadius(p1: Point, p2: Point, radius: number): boolean {
10  // sqrt を避けて2乗のまま比較すると高速（当たり判定の定石）
11  const dx = p2.x - p1.x;
12  const dy = p2.y - p1.y;
13  return dx * dx + dy * dy <= radius * radius;
14}
15
16// 使用例
17const player: Point = { x: 0, y: 0 };
18const enemy: Point = { x: 3, y: 4 };
19
20console.log(distance(player, enemy)); // 5
21console.log(isWithinRadius(player, enemy, 6)); // true