三平方の定理

Q: 三平方の定理とは何ですか？

直角三角形において、直角をはさむ2辺（直角をはさむ辺、脚）の長さを a, b、直角の対辺（斜辺）の長さを c とすると、次の関係が成り立つ。 a^2 + b^2 = c^2 これが三平方の定理（ピタゴラスの定理）である。

Q: 三平方の定理は社会やプログラミングでどのように使われていますか？

2点間の距離計算（当たり判定・経路探索）: ゲームや地図アプリで「2点がどれくらい離れているか」を求める処理は、三平方の定理そのものである。円形の当たり判定（半径以内に入ったか）や、A*探索アルゴリズムのヒューリスティック関数などで頻出する、最も基本的で応用範囲の広い公式。

直角三角形の3辺に隠れた面積の等式

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3行要約（Key Takeaways / AIOサマリー）

1: 直角三角形において、2辺の2乗の和は斜辺の2乗と常に等しくなる（a² + b² = c²）。
2: 幾何学的には、直角をはさむ2辺の正方形の面積を合わせると、斜辺の正方形の面積とぴったり一致する。
3: ゲーム開発の2点間距離判定（当たり判定）や3D空間の距離計算の土台である。

なぜこれを学ぶのか？ — 現実社会とテクノロジーでの価値

Purpose & Motivation

なぜ生まれたのか？

古代エジプトのピラミッド建設や土地の測量において、「直角を完璧に作り出す」「斜めの距離を正確に測る」ために発見された。

身につく武器・思考力

縦と横の長ささえ分かれば、斜めの最短距離（ユークリッド距離）を平方根で瞬時に計算できる空間幾何学の基礎が身につく。

実社会・ITでの活躍現場

•2D/3Dゲームにおけるプレイヤーと敵キャラクターの当たり判定・接近検知
•建築・大工仕事における建物の歪みチェック（3:4:5の法則）
•Googleマップなどの地図アプリにおける2地点間の直線距離計算
•画面解像度（4K、フルHD）の対角線サイズ（インチ数）の算出

Layer 1 — 直感・シミュレーター

黒い点をドラッグして直角三角形の形を自由に変えてみよう。3つの辺の上に立っている正方形の面積が同時に変化する。青の面積＋赤の面積が、常に緑の面積と一致することを目で確かめよう。

a^2

= 3.0² = 9.00

b^2

= 2.0² = 4.00

c^2

= 3.61² = 13.00

↑ 黒い点をドラッグして直角三角形の形を変えると、3つの正方形の面積が連動する。 $a^2 + b^2$ = 13.00 と $c^2$ = 13.00 が常に一致することを確認しよう。

直感チェック！ミニクイズ

直角をはさむ2辺が 3cm と 4cm の直角三角形があります。斜辺の長さは何cm？

Layer 2 — 定義・受験・証明

定義

直角三角形において、直角をはさむ2辺（直角をはさむ辺、脚）の長さを $a, b$ 、直角の対辺（斜辺）の長さを $c$ とすると、次の関係が成り立つ。

a^2 + b^2 = c^2

これが三平方の定理（ピタゴラスの定理）である。

公式・数理モデル

a^2 + b^2 = c^2

証明・導出

最も直感的な証明の一つは正方形の面積を使う方法である。1辺 $a+b$ の正方形の中に、斜辺 $c$ の直角三角形を4つ、向きを変えて敷き詰める。

外側の正方形の面積は $(a+b)^2$ 。内側にできる小さな正方形（辺の長さ $c$ ）の面積は $c^2$ 。三角形4枚の面積の合計は $4 \times \frac{1}{2}ab = 2ab$ なので

(a+b)^2 = c^2 + 2ab

左辺を展開すると $a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab$ となり、両辺から $2ab$ を引くと

a^2 + b^2 = c^2

が得られる。

押さえておきたいポイント

直角三角形にのみ成り立つ特別な関係
2点間の距離の公式 $\sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ の土台になっている
3辺の長さの組（3,4,5 や 5,12,13 など）を「ピタゴラス数」と呼ぶ

参照基準・学習指導要領との対応

本トピックの内容・数理モデルは、文部科学省学習指導要領（算数・数学・情報）および国際標準カリキュラムに準拠し、エンジニアリング現場の実装事例と照らし合わせてMath World Lab編集部により検証・作成されています。

Layer 3 — 工学応用・現場実装

2点間の距離計算（当たり判定・経路探索）

ゲームや地図アプリで「2点がどれくらい離れているか」を求める処理は、三平方の定理そのものである。円形の当たり判定（半径以内に入ったか）や、A*探索アルゴリズムのヒューリスティック関数などで頻出する、最も基本的で応用範囲の広い公式。

1type Point = { x: number; y: number };
2
3function distance(p1: Point, p2: Point): number {
4  const dx = p2.x - p1.x;
5  const dy = p2.y - p1.y;
6  return Math.sqrt(dx * dx + dy * dy); // 三平方の定理 a^2 + b^2 = c^2
7}
8
9function isWithinRadius(p1: Point, p2: Point, radius: number): boolean {
10  // sqrt を避けて2乗のまま比較すると高速（当たり判定の定石）
11  const dx = p2.x - p1.x;
12  const dy = p2.y - p1.y;
13  return dx * dx + dy * dy <= radius * radius;
14}
15
16// 使用例
17const player: Point = { x: 0, y: 0 };
18const enemy: Point = { x: 3, y: 4 };
19
20console.log(distance(player, enemy)); // 5
21console.log(isWithinRadius(player, enemy, 6)); // true