GPS測位の仕組み（三点測量）

Q: GPS測位の仕組み（三点測量）とは何ですか？

衛星 i の位置を (x_i, y_i)、その衛星から受信機 (x, y) までの測定距離を d_i とすると、三平方の定理（距離公式）より次の関係が成り立つ。(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 = d_i^2 \qquad (i = 1, 2, 3, \ldots) これは中心 (x_i,y_i)、半径 d_i の円の方程式であり、受信機の位置 (x,y) はこの円周上のどこかにある。複数の衛星から得られる円の方程式を連立させ、共通の交点を求める処理が「トリラテレーション（三点測量）」である。

Q: GPS測位の仕組み（三点測量）は社会やプログラミングでどのように使われていますか？

GPS受信機における2次元トリラテレーション（三点測量）の位置計算: 3つの衛星（基準点）の座標と、それぞれから受信機までの測定距離をもとに、円の方程式の差分をとって線形連立方程式に帰着させ、受信機の推定位置を計算する簡略化されたトリラテレーション実装。

距離を半径とする円（球）の交点を求めるだけで、地上の位置が一点に定まる幾何学

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3行要約（Key Takeaways / AIOサマリー）

1: GPSは、複数の衛星から受信機までの距離（電波の到達時間 × 光速）を測定し、各衛星を中心とする「距離circle」の交点として受信機の位置を求める（トリラテレーション、三点測量）
2: 平面（2次元）上で位置を一意に決めるには、距離の情報だけでは円の交点が2つ生じてしまうため、最低3つの衛星（3つの円）からの距離情報が必要になる
3: 実際のGPSは3次元空間＋時刻のずれ（受信機の時計誤差）という4つの未知数を持つため、通常4機以上の衛星からの信号を使って連立方程式を解いている

なぜこれを学ぶのか？ — 現実社会とテクノロジーでの価値

Purpose & Motivation

なぜ生まれたのか？

GPSは、複数の衛星から受信機までの距離（電波の到達時間 × 光速）を測定し、各衛星を中心とする「距離circle」の交点として受信機の位置を求める（トリラテレーション、三点測量）

身につく武器・思考力

平面（2次元）上で位置を一意に決めるには、距離の情報だけでは円の交点が2つ生じてしまうため、最低3つの衛星（3つの円）からの距離情報が必要になる

実社会・ITでの活躍現場

•GPS受信機における2次元トリラテレーション（三点測量）の位置計算
•ITシステム・アルゴリズム実装における論理設計
•データ分析やシミュレーションにおける数理モデリング

Layer 1 — 直感・シミュレーター

3つの「衛星」の点をドラッグして自由に配置し、それぞれの半径（測定距離）もスライダーで調整してみよう。各衛星を中心とする円が描かれ、3つの円が重なる1点（受信機の推定位置、緑の点）がリアルタイムに計算・表示される。衛星を2個だけに減らすモードに切り替えると、円の交点が2つ残ってしまい位置が一意に定まらない様子も確認できる。

「衛星」の点をドラッグし、各半径（測定距離）を調整してみよう。3つの円が重なる1点が受信機の推定位置になる。

衛星A 測定距離2.50

衛星B 測定距離2.20

衛星C 測定距離3.00

推定受信機位置: (0.23, 0.78)

3つの円の連立方程式 $(x-x_i)^2+(y-y_i)^2=d_i^2$ を解いて、緑の点として一意に求まっています。

↑ GPSは衛星からの距離を半径とする円（実際は3次元の球）の交点を求めるトリラテレーション（三点測量）で位置を計算します。平面上で一意に位置を決めるには最低3つの距離情報が必要です。

直感チェック！ミニクイズ

平面（2次元）上で、GPS受信機の位置をただ一点に絞り込むために、原理的に最低何個の衛星（距離情報）が必要か？

Layer 2 — 定義・受験・証明

定義

衛星 $i$ の位置を $(x_i, y_i)$ 、その衛星から受信機 $(x, y)$ までの測定距離を $d_i$ とすると、三平方の定理（距離公式）より次の関係が成り立つ。

(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2 = d_i^2 \qquad (i = 1, 2, 3, \ldots)

これは中心 $(x_i,y_i)$ 、半径 $d_i$ の円の方程式であり、受信機の位置 $(x,y)$ はこの円周上のどこかにある。複数の衛星から得られる円の方程式を連立させ、共通の交点を求める処理が「トリラテレーション（三点測量）」である。

公式・数理モデル

(x-x_i)^2+(y-y_i)^2=d_i^2 \;(i=1,2,3) \;\Longrightarrow\; \begin{pmatrix}2(x_2-x_1) & 2(y_2-y_1)\\ 2(x_3-x_1) & 2(y_3-y_1)\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}d_1^2-d_2^2+x_2^2-x_1^2+y_2^2-y_1^2\\ d_1^2-d_3^2+x_3^2-x_1^2+y_3^2-y_1^2\end{pmatrix}

証明・導出

非線形の連立方程式を線形化して解く導出： 3つの円の方程式は

(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=d_1^2 \quad(1)

(x-x_2)^2+(y-y_2)^2=d_2^2 \quad(2)

(x-x_3)^2+(y-y_3)^2=d_3^2 \quad(3)

このままでは $x^2, y^2$ の項を含む非線形の連立方程式だが、式(2)から式(1)を引くと、 $x^2, y^2$ の項が完全に相殺される。

(x-x_2)^2-(x-x_1)^2 + (y-y_2)^2-(y-y_1)^2 = d_2^2-d_1^2

展開すると、

2(x_1-x_2)x + 2(y_1-y_2)y = d_2^2-d_1^2-x_2^2+x_1^2-y_2^2+y_1^2

これは $x, y$ に関する「線形」な直線の方程式である（幾何学的には、2つの円の交点を結ぶ直線＝根軸に対応する）。同様に式(3)から式(1)を引くともう1本の線形な直線の方程式が得られる。この2本の連立一次方程式を行列表示すると上記の公式のようになり、逆行列（またはクラメルの公式）を用いて $(x, y)$ を一意に解くことができる。

【なぜ2個の円では一意に決まらないか】円1個の情報だけでは、条件を満たす点は円周上の無限個。円2個（式(1)(2)）を連立させると、上記の引き算により得られる1本の直線と、元の円1個との交点を求めることになり、直線と円は一般に2点で交わる（2次方程式の解が2つ）。この2つの交点のどちらが正しい受信機位置かを絞り込むために、3個目の円（衛星）の情報が必要になる。

押さえておきたいポイント

GPSでは実際には距離ではなく電波の「到達時間」を測定するため、光速 $c$ を用いて $d_i = c \times (\text{到達時間})$ と変換している
受信機の時計は衛星の原子時計ほど正確ではないため、時刻のずれ $\delta t$ という4つ目の未知数が加わり、3次元位置 $(x,y,z)$ と合わせて未知数は4つになる。そのため実運用では4機以上の衛星が必要
この「複数の距離（円・球）の交点から位置を求める」手法はトリラテレーション（trilateration）と呼ばれ、角度を使う三角測量（triangulation）とは区別される
Wi-Fi測位やインドアの音波・電波を使った位置推定（UWB測位など）にも同じトリラテレーションの数学が応用されている

参照基準・学習指導要領との対応

本トピックの内容・数理モデルは、文部科学省学習指導要領（算数・数学・情報）および国際標準カリキュラムに準拠し、エンジニアリング現場の実装事例と照らし合わせてMath World Lab編集部により検証・作成されています。

Layer 3 — 工学応用・現場実装

GPS受信機における2次元トリラテレーション（三点測量）の位置計算

3つの衛星（基準点）の座標と、それぞれから受信機までの測定距離をもとに、円の方程式の差分をとって線形連立方程式に帰着させ、受信機の推定位置を計算する簡略化されたトリラテレーション実装。

1type Point = { x: number; y: number };
2
3// 3つの衛星の位置と、そこから受信機までの測定距離からトリラテレーションで位置を推定
4function trilaterate(
5  p1: Point, d1: number,
6  p2: Point, d2: number,
7  p3: Point, d3: number
8): Point {
9  // 円の方程式の差分をとり、線形連立方程式 A * [x, y]^T = b に帰着
10  const A11 = 2 * (p2.x - p1.x);
11  const A12 = 2 * (p2.y - p1.y);
12  const A21 = 2 * (p3.x - p1.x);
13  const A22 = 2 * (p3.y - p1.y);
14
15  const b1 =
16    d1 ** 2 - d2 ** 2 - p1.x ** 2 + p2.x ** 2 - p1.y ** 2 + p2.y ** 2;
17  const b2 =
18    d1 ** 2 - d3 ** 2 - p1.x ** 2 + p3.x ** 2 - p1.y ** 2 + p3.y ** 2;
19
20  // クラメルの公式で2元連立一次方程式を解く
21  const det = A11 * A22 - A12 * A21;
22  if (Math.abs(det) < 1e-9) {
23    throw new Error("衛星が一直線上にあり、位置を一意に決定できません");
24  }
25
26  const x = (b1 * A22 - b2 * A12) / det;
27  const y = (A11 * b2 - A21 * b1) / det;
28  return { x, y };
29}
30
31// 例: 3つの衛星（基準局）の座標と測定距離
32const satelliteA: Point = { x: 0, y: 0 };
33const satelliteB: Point = { x: 10, y: 0 };
34const satelliteC: Point = { x: 5, y: 10 };
35
36const receiverPosition = trilaterate(
37  satelliteA, 7.07,
38  satelliteB, 7.07,
39  satelliteC, 7.07
40);
41
42console.log(`推定受信機位置: (${receiverPosition.x.toFixed(2)}, ${receiverPosition.y.toFixed(2)})`);