固有値・固有ベクトル

Q: 固有値・固有ベクトルとは何ですか？

正方行列 M に対して、ゼロベクトルでないベクトル \vec{v} と、スカラー \lambda が M\vec{v} = \lambda \vec{v} を満たすとき、\vec{v} を M の固有ベクトル（eigenvector）、\lambda を対応する固有値（eigenvalue）と呼ぶ。行列による変換は一般にベクトルの向きを変えてしまうが、固有ベクトルの向きだけは変換後も変わらず、長さが \lambda 倍されるだけになる。

Q: 固有値・固有ベクトルは社会やプログラミングでどのように使われていますか？

主成分分析 (PCA) によるデータ圧縮の第一歩: 画像やデータセットの分散共分散行列を計算し、その固有ベクトル・固有値を求めると、「データが最もばらついている方向（＝情報量が多い方向）」が分かる。固有値の大きい順に少数の固有ベクトルだけを残すことで、情報の損失を抑えながら次元を圧縮できる。これは画像圧縮や顔認識（Eigenfaces）、レコメンドエンジンの基礎技術である。

行列で変換しても「向きが変わらない」特別な方向

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3行要約（Key Takeaways / AIOサマリー）

1: 行列で空間を変形しても「回転せずに向きが保たれる」特別な軸が固有ベクトルである。
2: その軸に沿って長さが何倍に引き伸ばされるかを表すスケール係数が固有値である。
3: GoogleのPageRankアルゴリズム、AIの主成分分析（PCA・次元圧縮）、量子力学の基盤技術。

なぜこれを学ぶのか？ — 現実社会とテクノロジーでの価値

Purpose & Motivation

なぜ生まれたのか？

行列で空間を変形しても「回転せずに向きが保たれる」特別な軸が固有ベクトルである。

身につく武器・思考力

その軸に沿って長さが何倍に引き伸ばされるかを表すスケール係数が固有値である。

実社会・ITでの活躍現場

•主成分分析 (PCA) によるデータ圧縮の第一歩
•ITシステム・アルゴリズム実装における論理設計
•データ分析やシミュレーションにおける数理モデリング

Layer 1 — 直感・シミュレーター

紫の矢印 $\vec{v}$ をドラッグして向きを変えると、行列 $M$ で変換した後の矢印（赤）が一緒に表示される。ほとんどの向きでは $\vec{v}$ と $M\vec{v}$ は別の方向を向くが、特定の向きにそろえると2本が同一直線上に乗る（緑になる）。それが固有ベクトルの方向。行列のスライダーも動かして色々な変換を試してみよう。

m_{a}

= 2.0

m_{b}

= 1.0

m_{c}

= 1.0

m_{d}

= 2.0

$\vec{v}$ = (1.00, 1.00) を $M = \begin{pmatrix} 2.0 & 1.0 \\ 1.0 & 2.0 \end{pmatrix}$ で変換すると $M\vec{v}$ = (3.00, 3.00)

緑の矢印が赤ではなく紫と同一直線上 → これは固有ベクトルの向き！固有値 λ ≈ 3.00

↑ 紫の矢印（v）をドラッグし、行列 M による変換後（赤/緑の矢印 Mv）が同じ直線上に乗る向きを探そう。それが固有ベクトルの方向。

直感チェック！ミニクイズ

行列 M をベクトル v に掛けたとき Mv = 3v になりました。このときの固有値 λ はいくつ？

Layer 2 — 定義・受験・証明

定義

正方行列 $M$ に対して、ゼロベクトルでないベクトル $\vec{v}$ と、スカラー $\lambda$ が

M\vec{v} = \lambda \vec{v}

を満たすとき、 $\vec{v}$ を $M$ の固有ベクトル（eigenvector）、 $\lambda$ を対応する固有値（eigenvalue）と呼ぶ。行列による変換は一般にベクトルの向きを変えてしまうが、固有ベクトルの向きだけは変換後も変わらず、長さが $\lambda$ 倍されるだけになる。

公式・数理モデル

M\vec{v} = \lambda \vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \det(M - \lambda I) = 0

証明・導出

$M\vec{v} = \lambda \vec{v}$ を変形すると $(M - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ となる。 $\vec{v} \neq \vec{0}$ の解を持つためには、行列 $M - \lambda I$ が正則（逆行列を持つ）であってはならない。なぜなら正則であれば両辺に逆行列を掛けて $\vec{v} = \vec{0}$ が強制されてしまうからである。

したがって固有値は

\det(M - \lambda I) = 0

という「特性方程式」の解として求められる。2×2行列 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の場合、これは $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0$ という2次方程式になる。

押さえておきたいポイント

固有ベクトルの向きは、行列変換をしても変わらない（不変方向）
対称行列（ $M = M^T$ ）は必ず直交する固有ベクトルを持つ — これが主成分分析(PCA)の理論的支柱
固有値の絶対値の大小は、その方向にデータや変換がどれだけ「引き伸ばされるか」を表す

参照基準・学習指導要領との対応

本トピックの内容・数理モデルは、文部科学省学習指導要領（算数・数学・情報）および国際標準カリキュラムに準拠し、エンジニアリング現場の実装事例と照らし合わせてMath World Lab編集部により検証・作成されています。

Layer 3 — 工学応用・現場実装

主成分分析 (PCA) によるデータ圧縮の第一歩

画像やデータセットの分散共分散行列を計算し、その固有ベクトル・固有値を求めると、「データが最もばらついている方向（＝情報量が多い方向）」が分かる。固有値の大きい順に少数の固有ベクトルだけを残すことで、情報の損失を抑えながら次元を圧縮できる。これは画像圧縮や顔認識（Eigenfaces）、レコメンドエンジンの基礎技術である。

1import numpy as np
2
3# 2次元の観測データ（例: 身長と体重など、相関のある2変量）
4data = np.array([
5    [2.5, 2.4],
6    [0.5, 0.7],
7    [2.2, 2.9],
8    [1.9, 2.2],
9    [3.1, 3.0],
10    [2.3, 2.7],
11    [2.0, 1.6],
12    [1.0, 1.1],
13])
14
15# 平均を引いて中心化
16centered = data - data.mean(axis=0)
17
18# 分散共分散行列
19cov = np.cov(centered, rowvar=False)
20
21# 固有値・固有ベクトルを求める（対称行列なので eigh が数値的に安定）
22eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(cov)
23
24# 固有値の大きい順に並べ替え
25order = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
26eigenvalues = eigenvalues[order]
27eigenvectors = eigenvectors[:, order]
28
29# 最大固有値に対応する固有ベクトル = 第1主成分（最も情報量の多い方向）
30print("第1主成分の方向:", eigenvectors[:, 0])
31print("寄与率:", eigenvalues / eigenvalues.sum())
32
33# データをその方向に射影すれば、2次元 -> 1次元の圧縮になる
34projected = centered @ eigenvectors[:, 0]
35print("圧縮後の1次元データ:", projected)