固有値・固有ベクトル

行列で変換しても「向きが変わらない」特別な方向

Layer 1 — 直感・シミュレーター

紫の矢印 $\vec{v}$ をドラッグして向きを変えると、行列 $M$ で変換した後の矢印（赤）が一緒に表示される。ほとんどの向きでは $\vec{v}$ と $M\vec{v}$ は別の方向を向くが、特定の向きにそろえると2本が同一直線上に乗る（緑になる）。それが固有ベクトルの方向。行列のスライダーも動かして色々な変換を試してみよう。

m_{a}

= 2.0

m_{b}

= 1.0

m_{c}

= 1.0

m_{d}

= 2.0

$\vec{v}$ = (1.00, 1.00) を $M = \begin{pmatrix} 2.0 & 1.0 \\ 1.0 & 2.0 \end{pmatrix}$ で変換すると $M\vec{v}$ = (3.00, 3.00)

緑の矢印が赤ではなく紫と同一直線上 → これは固有ベクトルの向き！固有値 λ ≈ 3.00

↑ 紫の矢印（v）をドラッグし、行列 M による変換後（赤/緑の矢印 Mv）が同じ直線上に乗る向きを探そう。それが固有ベクトルの方向。

Layer 2 — 定義・受験・証明

定義

正方行列 $M$ に対して、ゼロベクトルでないベクトル $\vec{v}$ と、スカラー $\lambda$ が

M\vec{v} = \lambda \vec{v}

を満たすとき、 $\vec{v}$ を $M$ の固有ベクトル（eigenvector）、 $\lambda$ を対応する固有値（eigenvalue）と呼ぶ。行列による変換は一般にベクトルの向きを変えてしまうが、固有ベクトルの向きだけは変換後も変わらず、長さが $\lambda$ 倍されるだけになる。

公式

M\vec{v} = \lambda \vec{v} \quad \Longleftrightarrow \quad \det(M - \lambda I) = 0

証明・導出

$M\vec{v} = \lambda \vec{v}$ を変形すると $(M - \lambda I)\vec{v} = \vec{0}$ となる。 $\vec{v} \neq \vec{0}$ の解を持つためには、行列 $M - \lambda I$ が正則（逆行列を持つ）であってはならない。なぜなら正則であれば両辺に逆行列を掛けて $\vec{v} = \vec{0}$ が強制されてしまうからである。

したがって固有値は

\det(M - \lambda I) = 0

という「特性方程式」の解として求められる。2×2行列 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ の場合、これは $\lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad-bc) = 0$ という2次方程式になる。

押さえておきたいポイント

固有ベクトルの向きは、行列変換をしても変わらない（不変方向）
対称行列（ $M = M^T$ ）は必ず直交する固有ベクトルを持つ — これが主成分分析(PCA)の理論的支柱
固有値の絶対値の大小は、その方向にデータや変換がどれだけ「引き伸ばされるか」を表す

Layer 3 — 工学応用・現場実装

主成分分析 (PCA) によるデータ圧縮の第一歩

画像やデータセットの分散共分散行列を計算し、その固有ベクトル・固有値を求めると、「データが最もばらついている方向（＝情報量が多い方向）」が分かる。固有値の大きい順に少数の固有ベクトルだけを残すことで、情報の損失を抑えながら次元を圧縮できる。これは画像圧縮や顔認識（Eigenfaces）、レコメンドエンジンの基礎技術である。

1import numpy as np
2
3# 2次元の観測データ（例: 身長と体重など、相関のある2変量）
4data = np.array([
5    [2.5, 2.4],
6    [0.5, 0.7],
7    [2.2, 2.9],
8    [1.9, 2.2],
9    [3.1, 3.0],
10    [2.3, 2.7],
11    [2.0, 1.6],
12    [1.0, 1.1],
13])
14
15# 平均を引いて中心化
16centered = data - data.mean(axis=0)
17
18# 分散共分散行列
19cov = np.cov(centered, rowvar=False)
20
21# 固有値・固有ベクトルを求める（対称行列なので eigh が数値的に安定）
22eigenvalues, eigenvectors = np.linalg.eigh(cov)
23
24# 固有値の大きい順に並べ替え
25order = np.argsort(eigenvalues)[::-1]
26eigenvalues = eigenvalues[order]
27eigenvectors = eigenvectors[:, order]
28
29# 最大固有値に対応する固有ベクトル = 第1主成分（最も情報量の多い方向）
30print("第1主成分の方向:", eigenvectors[:, 0])
31print("寄与率:", eigenvalues / eigenvalues.sum())
32
33# データをその方向に射影すれば、2次元 -> 1次元の圧縮になる
34projected = centered @ eigenvectors[:, 0]
35print("圧縮後の1次元データ:", projected)